Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις

Περιεχόμενο

• στάδια
• Προκαταρκτική: γνωρίζουμε πώς να μετατρέψουμε μια λογαριθμική εξίσωση σε μια εξίσωση με τις δυνάμεις
• Μέθοδος 1 Βρείτε x
• Μέθοδος 2 Βρείτε x χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος λογάριθμου
• Μέθοδος 3 Εύρεση x χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλού λογαρίθμου

Οι λογαριθμικές εξισώσεις δεν είναι, με την πρώτη ματιά, οι ευκολότερες λύσεις στα μαθηματικά, αλλά μπορούν να μετατραπούν σε εξισώσεις με εκθέτες (εκθετική σημείωση). Έτσι, εάν καταφέρετε να κάνετε αυτό το μετασχηματισμό και αν ελέγξετε τον υπολογισμό με τις εξουσίες, θα πρέπει εύκολα να λύσετε αυτό το είδος εξισώσεων. ΣΗΜ .: Ο όρος "log" θα χρησιμοποιείται κατά διαστήματα αντί για "λογάριθμος", είναι εναλλάξιμοι.

στάδια

Προκαταρκτική: γνωρίζουμε πώς να μετατρέψουμε μια λογαριθμική εξίσωση σε μια εξίσωση με τις δυνάμεις

1. 
   

   
   Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό του λογαρίθμου. Αν ψάχνετε να υπολογίσετε τους λογαρίθμους, ξέρετε ότι δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένας ειδικός τρόπος έκφρασης των δυνάμεων. Ας ξεκινήσουμε με μία από τις κλασικές συνθήκες λογαρίθμου:
   • y = log_β (Χ)
     • εάν και μόνο εάν: b = x
   • β είναι η βάση του λογαρίθμου. Πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις:
     • b> 0 (β πρέπει να είναι αυστηρά θετική)
     • β δεν πρέπει να είναι ίση με 1
   • Στην εκθετική σημείωση (δεύτερη εξίσωση παραπάνω), εκεί είναι η δύναμη και x είναι η αποκαλούμενη εκθετική έκφραση, στην πραγματικότητα η αξία της οποίας αναζητά το αρχείο καταγραφής.

2. 
   

   
   
   
   Παρατηρήστε προσεκτικά την εξίσωση. Μπροστά σε μια λογαριθμική εξίσωση, πρέπει να αναγνωρίσουμε τη βάση (b), την ισχύ (y) και την εκθετική έκφραση (x).
   • παράδειγμα : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Τοποθετήστε την εκθετική έκφραση στη μία πλευρά της εξίσωσης. Τοποθετήστε, για παράδειγμα, την αξία σας x στα αριστερά του σημείου "=".
   • παράδειγμα : 1024 = ?

4. 
   

   
   Σηκώστε τη βάση στην ενδεικνυόμενη ισχύ. Η αξία που έχει αποδοθεί στη βάση δεδομένων (β) πρέπει να πολλαπλασιάζεται από μόνη της σε όσες φορές υποδεικνύει η ισχύς (εκεί).
   • παράδειγμα : 4 χ 4 χ 4 χ 4 χ 4 =?
     • Σε στενογραφία, αυτό δίνει: 4

5. 
   

   
   
   
   Γράψτε την απάντησή σας. Τώρα μπορείτε να ξαναγράψετε τον λογάριθμο σε εκθετική σημείωση. Βεβαιωθείτε ότι η ισότητα είναι σωστή επαναλαμβάνοντας τον υπολογισμό.
   • παράδειγμα : 4 = 1024

Μέθοδος 1 Βρείτε x

1. 
   

   
   Απομονώστε τον λογάριθμο. Ο στόχος είναι πράγματι να διαλυθεί σε πρώτη φορά το ημερολόγιο. Για αυτό, περάσαμε όλα τα μη λογαριθμικά μέλη στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Μην ξεχάσετε να αντιστρέψετε τα χειρουργικά σημεία!
   • παράδειγμα : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • καταγραφής₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • καταγραφής₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Γράψτε την εξίσωση σε εκθετική μορφή. Για να μπορέσετε να βρείτε το "x", θα πρέπει να πάτε από την λογαριθμική συμβολική στην εκθετική σημειογραφία, η οποία είναι πιο εύκολη στην επίλυση.
   • παράδειγμα : log₃(x + 5) = 4
     • Ξεκινώντας από τη θεωρητική εξίσωση y = log_β (Χ)], εφαρμόστε το στο παράδειγμά μας: y = 4; b = 3; x = χ + 5
     • Γράψτε την εξίσωση ως: b = x
     • Παίρνουμε εδώ: 3 = x + 5

3. 
   

   
   βρίσκω x. Τώρα αντιμετωπίζετε μια εξίσωση του πρώτου βαθμού, η οποία είναι εύκολο να λυθεί. Θα μπορούσε να είναι δεύτερος ή τρίτος βαθμός.
   • παράδειγμα : 3 = χ + 5
     • (3) (3) (3) (3) = χ + 5
     • 81 = χ + 5
     • 81 - 5 = χ + 5 - 5
     • 76 = χ

4. 
   

   
   Εισαγάγετε την οριστική απάντησή σας. Η τιμή που βρήκατε για το "x" είναι η απάντηση στην λογαριθμική σας εξίσωση: log₃(x + 5) = 4.
   • παράδειγμα : χ = 76

Μέθοδος 2 Βρείτε x χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος λογάριθμου

1. 
   

   
   Πρέπει να γνωρίζετε τον κανόνα που αφορά το προϊόν (πολλαπλασιασμό) των κορμών. Σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα των κορμών, αυτό που αφορά το προϊόν των κορμών (της ίδιας βάσης sentend!), Το ημερολόγιο ενός προϊόντος είναι ίσο με το άθροισμα των κορμών των στοιχείων του προϊόντος. Εικονογράφηση:
   • καταγραφής_β(mxn) = log_β(m) + log_β(Ν)
   • Πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Απομονώστε τα κούτσουρα από τη μία πλευρά της εξίσωσης. Ο στόχος είναι πράγματι να διαλυθούν πρώτα τα κούτσουρα. Για αυτό, περάσαμε όλα τα μη λογαριθμικά μέλη στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Μην ξεχάσετε να αντιστρέψετε τα χειρουργικά σημεία!
   • παράδειγμα : log₄(χ + 6) = 2 - log₄(Χ)
     • καταγραφής₄(χ + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(Χ)
     • καταγραφής₄(χ + 6) + log₄(χ) = 2

3. 
   

   
   Εφαρμόστε τον κανόνα που αφορά το προϊόν των κορμών. Εδώ, θα το εφαρμόσουμε προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή ότι το άθροισμα των κορμών είναι ίσο με το ημερολόγιο του προϊόντος. Τι μας δίνει:
   • παράδειγμα : log₄(χ + 6) + log₄(χ) = 2
     • καταγραφής₄ = 2
     • καταγραφής₄(χ + 6χ) = 2

4. 
   

   
   Επανατοποθετήστε την εξίσωση με τις δυνάμεις. Θυμηθείτε ότι μια λογαριθμική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε μια εξίσωση με τους εκθέτες. Όπως και πριν, θα προχωρήσουμε σε εκθετική σημείωση για να βοηθήσουμε στην επίλυση του προβλήματος.
   • παράδειγμα : log₄(χ + 6χ) = 2
     • Ξεκινώντας από τη θεωρητική εξίσωση, ας το εφαρμόσουμε στο παράδειγμα μας: y = 2; b = 4; x = χ + 6χ
     • Γράψτε την εξίσωση ως: b = x
     • 4 = χ + 6χ

5. 
   

   
   βρίσκω x. Τώρα αντιμετωπίζετε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, η οποία είναι εύκολο να λυθεί.
   • παράδειγμα : 4 = χ + 6χ
     • (4) (4) = χ + 6χ
     • 16 = χ + 6χ
     • 16 - 16 = χ + 6χ - 16
     • 0 = χ + 6χ - 16
     • 0 = (χ - 2) (χ + 8)
     • x = 2. x = -8

6. 
   

   
   Γράψτε την απάντησή σας. Συχνά, έχουμε δύο απαντήσεις (ρίζες). Θα πρέπει να ελέγχεται στην εξίσωση εκκίνησης αν αυτές οι δύο τιμές είναι κατάλληλες. Πράγματι, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το ημερολόγιο ενός αρνητικού αριθμού! Εισαγάγετε τη μόνη έγκυρη απάντηση.
   • παράδειγμα : χ = 2
   • Ποτέ δεν θα το θυμηθούμε αρκετά: το ημερολόγιο ενός αρνητικού αριθμού δεν υπάρχει, έτσι μπορείτε, εδώ, να απορρίψετε - 8 ως λύση. Αν πάρουμε -8 ως απάντηση, στη βασική εξίσωση, θα έχουμε: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), δηλαδή log₄(-2) = 2 - log₄(-8). Δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός του μητρώου αρνητικής τιμής!

Μέθοδος 3 Εύρεση x χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλού λογαρίθμου

1. 
   

   
   Πρέπει να γνωρίζετε τον κανόνα που αφορά την κατανομή των κορμών. Σύμφωνα με τη δεύτερη ιδιότητα των κορμών, αυτό που αφορά την κατανομή των κορμών (της ίδιας βάσης sentend!), Το ημερολόγιο ενός πηλίκου ισούται με τη διαφορά του ημερολογίου του αριθμητή και του ημερολογίου του παρονομαστή. Εικονογράφηση:
   • καταγραφής_β(m / n) = log_β(m) - log_β(Ν)
   • Πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Απομονώστε τα κούτσουρα από τη μία πλευρά της εξίσωσης. Ο στόχος είναι πράγματι να διαλυθούν πρώτα τα κούτσουρα. Για αυτό, περάσαμε όλα τα μη λογαριθμικά μέλη στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Μην ξεχάσετε να αντιστρέψετε τα χειρουργικά σημεία!
   • παράδειγμα : log₃(χ + 6) = 2 + log₃(χ - 2)
     • καταγραφής₃(χ + 6) - λογ₃(χ - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(χ - 2)
     • καταγραφής₃(χ + 6) - λογ₃(χ - 2) = 2

3. 
   

   
   Εφαρμόστε τον κανόνα του πηδαλίου καταγραφής. Εδώ, θα το εφαρμόσουμε προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή ότι η διαφορά των κορμών είναι ίση με το ημερολόγιο του πηλίκου. Τι μας δίνει:
   • παράδειγμα : log₃(χ + 6) - λογ₃(χ - 2) = 2
     • καταγραφής₃ = 2

4. 
   

   
   Επανατοποθετήστε την εξίσωση με τις δυνάμεις. Θυμηθείτε ότι μια λογαριθμική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε μια εξίσωση με τους εκθέτες. Όπως και πριν, θα προχωρήσουμε σε εκθετική σημείωση για να βοηθήσουμε στην επίλυση του προβλήματος.
   • παράδειγμα : log₃ = 2
     • Ξεκινώντας από τη θεωρητική εξίσωση, ας το εφαρμόσουμε στο παράδειγμα μας: y = 2; b = 3; x = (χ + 6) / (χ-2)
     • Γράψτε την εξίσωση ως: b = x
     • 3 = (χ + 6) / (χ - 2)

5. 
   

   
   βρίσκω x. Τώρα που δεν υπάρχουν περισσότερα αρχεία καταγραφής, αλλά δυνάμεις, θα πρέπει να βρίσκετε εύκολα x.
   • παράδειγμα : 3 = (χ + 6) / (χ - 2)
     • (3) (3) = (χ + 6) / (χ-2)
     • 9 = (χ + 6) / (χ - 2)
     • 9 (χ - 2) = (χ - 2) & mdash; πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με (x - 2)
     • 9x - 18 = χ + 6
     • 9x - χ - 18 + 18 = χ - χ + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Εισαγάγετε την οριστική απάντησή σας. Πάρτε πίσω τους υπολογισμούς σας και κάνετε έναν έλεγχο. Όταν είστε σίγουροι για την απάντησή σας, γράψτε την οριστικά.
   • παράδειγμα : χ = 3