Πώς να σχεδιάσετε μια παραβολή

Περιεχόμενο

• στάδια
• Μέρος 1 Σχεδιάστε μια παραβολή
• Μέρος 2 Μετακίνηση μίας παραβολής

Μια παραβολή είναι μια επίπεδη, συμμετρική και περισσότερο ή λιγότερο ανοιχτή τοξωτή καμπύλη. Κάθε σημείο αυτής της καμπύλης είναι ίσο από ένα σταθερό σημείο (εστίαση) και μια συγκεκριμένη γραμμή (directrix). Για να σχεδιάσετε μια παραβολή, απλά πρέπει να ξέρετε πώς να τοποθετήσετε την κορυφή σας και να υπολογίσετε, χρησιμοποιώντας την εξίσωση, τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων σε κάθε πλευρά αυτής της κορυφής: τότε αρκεί να συνδέσετε όλα αυτά τα σημεία. Μαθαίνοντας να σχεδιάσουμε μια παραβολή, αυτός είναι ο σκοπός αυτού του άρθρου.

στάδια

Μέρος 1 Σχεδιάστε μια παραβολή

1. 
   

   
   Καταλάβετε ποια είναι τα διαφορετικά μέρη μιας παραβολής. Πριν ξεκινήσετε, πρέπει να καταλάβετε τι είναι αυτή η συγκεκριμένη καμπύλη και το λεξιλόγιο που πηγαίνει μαζί της. Αυτοί οι όροι είναι οι μόνοι που θα χρησιμοποιήσουμε. Εδώ είναι τα διάφορα μέρη μιας παραβολής:
   • την εστίαση Αυτό είναι ένα συγκεκριμένο σημείο εντός της καμπύλης που χρησιμεύει ως σημείο αναφοράς για το γράφημα της καμπύλης.
   • ο διευθυντής (x) της παραβολής : είναι μια ευθεία γραμμή. Η παραβολή είναι η θέση των ισοσταθμισμένων επιπέδων επιπέδων ενός σταθερού σημείου (F) που ονομάζεται σπίτι και μια σταθερή ευθεία γραμμή (d) που ονομάζεται διευθύντρια.
   • χαλαρή συμμετρία : η χαλαρή συμμετρία είναι μια κατακόρυφη γραμμή που διέρχεται από την εστίαση (F) και την κορυφή της παραβολής. Κάθε σημείο της παραβολής έχει σημείο συμμετρίας σε σχέση με αυτήν την κάθετη.
   • την κορυφή Αυτό είναι το σημείο τομής της χαλαρής συμμετρίας και της παραβολής. Αν το τελευταίο ανοίξει, τότε η κορυφή είναι a ελάχιστο ? Αν ανοίξει, τότε η κορυφή είναι a ανώτατο όριο.

2. 
   

   
   
   
   Μάθετε πώς να αναγνωρίζετε την εξίσωση μιας παραβολής. Έχει την ακόλουθη μορφή: y = άξονα + bx + c. Μπορεί επίσης να βρεθεί με τη μορφή: y = a (χ - η) 2 + kαλλά, για να επεξηγήσουμε το σημείο μας, θα πάρουμε την πρώτη διατύπωση.
   • Εάν το "a" της εξίσωσης είναι θετικό, τότε το πιάτο θα ανοίξει, το σχήμα "U" και η κορυφή θα είναι ένα ελάχιστο. Εάν, αντίθετα, το "a" είναι αρνητικό, τότε το πιάτο θα κινηθεί προς τα κάτω και η κορυφή θα είναι το μέγιστο. Περισσότερη διασκέδαση είναι η ακόλουθη μνημονική: αν είναι "a" θετικός, η καμπύλη σας μοιάζει με χαμόγελο. αν είναι "a" αρνητικόςτότε η καμπύλη μοιάζει με ένα στόμα που εκφράζει απογοήτευση.
   • Πάρτε την ακόλουθη εξίσωση: y = 2x1. Όπως μπορείτε να δείτε, το "a" (= 2) είναι θετικό, οπότε η καμπύλη θα ανοίξει (χαμόγελο).
   • Εάν είναι "y" τετράγωνο και όχι πλέον "x", τότε η καμπύλη θα ανοίξει στις πλευρές, είτε δεξιά είτε αριστερά, με τη μορφή "C" που κοιτάζει σε κάθε μία από αυτές τις κατευθύνσεις. Έτσι, η εξίσωση parabola: x = y + 3 ανοίγει στα δεξιά, έχει μια μορφή "C".

3. 
   

   
   
   
   Προσδιορίστε τη χαλαρή συμμετρία. Θυμηθείτε ότι ο άξονας συμμετρίας είναι μια κάθετη γραμμή που περνάει από την κορυφή της παραβολής. Επομένως, όλα τα σημεία της γραμμής αυτής έχουν την ίδια τετμημένη, η οποία είναι και αυτή της κορυφής, αφού αυτή βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας. Για να μάθετε πού περνά αυτός ο άξονας, απλά χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο: x = -b / 2a .
   • Εάν επιστρέψουμε στο προηγούμενο παράδειγμα μας, έχουμε a = 2, b = 0 και c = 1. Αυτές οι τιμές σας επιτρέπουν να υπολογίσετε την labscisse της χαλαρής συμμετρίας: x = -0 / (2 χ 2) = 0.
   • Το Lax συμμετρίας έχει για την εξίσωση: x = 0. Αυτή είναι η x-προέλευση των τεταγμένων.

4. 
   

   
   Προσδιορίστε τη σύνοδο κορυφής. Μόλις προσδιοριστεί η χαλαρή συμμετρία, μπορείτε να αντικαταστήσετε το "x" της εξίσωσης με την τιμή του laxe, για να πάρετε το "y" της κορυφής. Στο παράδειγμα μας (y = 2x - 1), έχουμε x = 0 (άξονας συμμετρίας), που δίνει: y = 2 x 0 - 1 = 0 - 1 = -1. Η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (0, -1): εδώ είναι ότι η καμπύλη διασχίζει τη χαλαρή συμμετρία που συμβαίνει να είναι εδώ χαλαρή.
   • Γενικά, δίνουμε ως θεωρητικές συντεταγμένες της κορυφής τις κυριολεκτικές τιμές (h, k). εδώ h είναι 0 και k είναι ίσο με -1. Αν σας δοθεί εξίσωση παραβολής με τη μορφή: y = a (χ - η) 2 + kτότε δεν θα έχετε κανέναν υπολογισμό, αφού η κορυφή θα είναι στο σημείο των συντεταγμένων (h, k). Η καμπύλη θα ήταν τότε εύκολο να σχεδιαστεί.

5. 
   

   
   Σχεδιάστε μια εικόνα των "x" εικόνων. Τώρα σχεδιάστε μια συστοιχία δύο σειρών στην οποία βάζετε τιμές "x" στην πρώτη. Στη δεύτερη, θα υπολογίσετε, μετά τον υπολογισμό, τις αντίστοιχες τιμές "y". Ο στόχος είναι να βρείτε μερικά σημεία για να σχεδιάσετε την καμπύλη.
   • Βάζουμε στη μέση της σειράς, την τιμή της χαλαρής συμμετρίας.
   • Τοποθετήστε τις 2 ή 3 τιμές του "x" που βρίσκονται προτού τη μεσαία τιμή και τις 2 ή 3 τιμές που βρίσκονται μετά. Σας υπενθυμίζουμε ότι η παραβολή είναι συμμετρική.
   • Για να πάρουμε το παράδειγμά μας, βρήκαμε έναν άξονα εξίσωσης συμμετρίας: x = 0. Βάζουμε αυτή την τιμή στο κέντρο της κορυφαίας σειράς.

6. 
   

   
   Στη συνέχεια, υπολογίστε τις αντίστοιχες τιμές "y". Στην αρχική εξίσωση, αντικαταστήστε το "x" με κάθε μία από τις τιμές στον πίνακα σας. Καταχωρίστε το αποτέλεσμα των υπολογισμών σας στην κάτω σειρά, στην κορυφή του αντίστοιχου "x". Στο παράδειγμά μας, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
   • με x = -2, γ υπολογίζεται ως εξής: y = 2 x (-2) - 1 = 8 - 1 = 7
   • με x = -1, εκεί υπολογίζεται ως εξής: y = 2 χ (-1) - 1 = 2 - 1 = 1
   • με x = 0, γ υπολογίζεται ως εξής: y = 2 χ (0) -1 = 0-1 = -1
   • με x = 1, εκεί υπολογίζεται ως εξής: y = 2 χ (1) - 1 = 2 - 1 = 1
   • με x = 2, εκεί υπολογίζεται ως εξής: y = 2 χ (2) - 1 = 8 - 1 = 7

7. 
   

   
   Συμπληρώστε το τραπέζι σας. Παίρνει μόνο πέντε σημεία, συμπεριλαμβανομένης της κορυφής, για να σχεδιάσει μια παραβολή. Μετά τους υπολογισμούς σας, βρήκατε τα ακόλουθα πέντε σημεία: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Θυμηθείτε ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα της ... συμμετρίας. Αυτό σημαίνει σαφώς ότι για δύο αντίθετες τετμημένες, θα έχετε την ίδια τιμή παραγγελίας. Έτσι, υπολογίσατε την εικόνα του x = 2 και του x = -2. Και στις δύο περιπτώσεις, y = 7. Εάν δοκιμάσετε με x = 1 και x = -1, παρατηρείτε το ίδιο φαινόμενο: είναι η επίδραση της συμμετρίας!

8. 
   

   
   Τοποθετήστε όλα αυτά τα σημεία σε ορθονονικό σημάδι. Κάθε μία από τις στήλες στον πίνακα σας δίνει τις συντεταγμένες (x, y) ενός από τα σημεία της καμπύλης. Τοποθετήστε αυτά τα σημεία σε ένα ορόσημο και βεβαιωθείτε ότι τα βάζετε στα σωστά σημεία
   • Το Lax "x" εκτείνεται από αριστερά προς τα δεξιά, το "y" πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω.
   • Όσον αφορά το σημείο προέλευσης (0,0), οι θετικές τιμές του "y" θα είναι υψηλότερες, ενώ οι αρνητικές τιμές θα είναι χαμηλότερες.
   • Όσον αφορά το σημείο προέλευσης (0,0), οι θετικές τιμές του "x" θα βρίσκονται στα δεξιά, ενώ οι αρνητικές τιμές θα βρίσκονται στα αριστερά.

9. 
   

   
   Συνδέστε τις τελείες με τη σειρά. Για να σχεδιάσουμε σωστά την καμπύλη της παραβολής, αρκεί να συνδέσουμε με τη σειρά τα σημεία που βρέθηκαν προηγουμένως. Με την εξίσωση που επιλέξατε ως παράδειγμα, θα πάρετε μια ανοιχτή parabola προς τα πάνω, με τη μορφή ενός "U". Η καμπύλη πρέπει να γίνει με το χέρι και όχι με τον κανόνα. Έτσι, θα έχετε μια ομαλή καμπύλη και όχι χαοτική. Σε γενικές γραμμές, αλλά δεν είναι υποχρεωτική, μπορούμε να επεκτείνουμε κάθε κλάδο της παραβολής με διακεκομμένες γραμμές για να δείξουμε ότι η παραβολή συνεχίζεται σε κάθε πλευρά, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση ανοίγματος της καμπύλης.

Μέρος 2 Μετακίνηση μίας παραβολής

Αν πρέπει να αντισταθμίσετε μια παραβολή χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσετε ξανά την κορυφή και τα σημεία, αρκεί να ξέρετε πώς να διαβάσετε την εξίσωση της μεταφρασμένης παραβολής, να μάθετε πόσες μονάδες κινεί την παραβολή και από ποια έννοια (κάτω, πάνω, αριστερά, δεξιά) . Ας ξεκινήσουμε από την παραβολή: y = x. Αυτό έχει την κορυφή του στο σημείο των συντεταγμένων (0, 0) και ανοίγει. Περνάει από τα σημεία συντεταγμένων: (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), (2, 4) κ.λπ. Γνωρίζοντας αυτό, θα είστε σε θέση να σχεδιάσετε παραβολές πανομοιότυπες με αυτό, αλλά να αντισταθμίσετε στην αναφορά. Εδώ είναι πώς λειτουργούμε:

1. 
   

   
   Μετακινήστε την καμπύλη προς τα πάνω. Αφήστε την εξίσωση: y = χ +1. Το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι να μετακινήσετε την παραβολική μονάδα (1), η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (0, 1) και όχι πλέον στο (0, 0). Αυτή η νέα καμπύλη έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με την αρχική, απλά όλες οι τεταγμένες ("y") αυξάνονται κατά μία μονάδα. Έτσι, αν η γραμμή περνά μέσα από (-1, 1) και στο (1, 1), η νέα παραβολή περνά από τα σημεία συντεταγμένων (-1, 2) και (1, 2) κ.ο.κ.

2. 
   

   
   Μετακινήστε την καμπύλη προς τα κάτω. Αφήστε την εξίσωση: y = χ-1. Το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι να μετακινήσετε το πιάτο κάτω από μία (1) μονάδα, τότε η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (0, -1) και όχι πλέον στο (0, 0). Αυτή η νέα καμπύλη έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με την αρχική, απλά όλες οι τεταγμένες ("y") μειώνονται κατά μία μονάδα. Έτσι, αν η γραμμή περνά μέσα από (-1, 1) και σε (1, 1), η νέα παραβολή περνά από τα σημεία συντεταγμένων (-1, 0) και (1, 0) κ.λπ.

3. 
   

   
   Μετακινήστε την καμπύλη προς τα αριστερά. Είτε εξίσωση y = (χ + 1). Το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι να μετακινήσετε το πιάτο στα αριστερά μιας (1) μονάδας, τότε η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (-1, 0) και όχι πλέον στο (0, 0).Αυτή η νέα καμπύλη έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με την αρχική, απλώς όλες οι τετμημένες ("x") μειώνονται κατά μία μονάδα. Έτσι, αν η γραμμή περνά μέσα από (-1, 1) και σε (1, 1), η νέα παραβολή περνά από τα σημεία συντεταγμένων (-2, 1) και (0, 1) κ.ο.κ.

4. 
   

   
   Μετακινήστε την καμπύλη στα δεξιά. Είτε εξίσωση y = (χ-1). Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να μετακινήσετε το πιάτο στα αριστερά μιας (1) μονάδας, η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (1, 0) και όχι πλέον στο (0, 0). Αυτή η νέα καμπύλη έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με το πρωτότυπο, απλά όλες οι τετμημένες ("x") αυξάνονται κατά μία μονάδα. Έτσι, αν η γραμμή περνά μέσα από (-1, 1) και στο (1, 1), η νέα παραβολή περνά από τα σημεία συντεταγμένων (0, 1) και (2, 1) κ.ο.κ.