Πώς να βρείτε την κορυφή μιας μαθηματικής λειτουργίας

Περιεχόμενο

• στάδια
• Μέθοδος 1 Βρείτε τον αριθμό των κορυφών ενός πολυεδρικού
• Μέθοδος 2 Βρείτε τις κορυφές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων
• Μέθοδος 3 Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής με χαλαρή συμμετρία
• Μέθοδος 4 Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής συμπληρώνοντας το τετράγωνο
• Μέθοδος 5 Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής χρησιμοποιώντας μια απλή φόρμουλα

Σε αυτό το άρθρο: Βρείτε τον αριθμό των κορυφών ενός πολυεδρικού Βρείτε τις κορυφές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής γνωρίζοντας τον άξονα συμμετρίας Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής συμπληρώνοντας το τετράγωνοΚατά τη κορυφή μιας παραβολής χρησιμοποιώντας ένα απλό τύποReferences

Πολλές μαθηματικές λειτουργίες φέρνουν κορυφές. Τα πολυεδρικά έχουν κορυφές, τα συστήματα επίσης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και οι παραβολές (οι οποίες είναι οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων του δεύτερου βαθμού). Οι υπολογισμοί αυτών των συγκεκριμένων σημείων διαφέρουν ανάλογα με τη μαθηματική συνάρτηση που είναι διαθέσιμη σε εσάς. Θα δούμε εδώ 5 σενάρια

στάδια

Μέθοδος 1 Βρείτε τον αριθμό των κορυφών ενός πολυεδρικού

1. 
   

   
   Ρίξτε μια ματιά στον τύπο του Euler για polyhedra. Αυτός ο τύπος καθορίζει ότι για κάθε πολυεδρικό κυρτός, ο αριθμός των προσώπων, συν τον αριθμό των κορυφών, μείον τον αριθμό των άκρων, είναι πάντοτε ίσος με 2.
   • Γραπτή σε εξίσωση μορφή, ο τύπος είναι ως εξής: f + s - α = 2
     • στ είναι ο αριθμός των προσώπων
     • s είναι ο αριθμός κορυφών ή γωνιών
     • έχει είναι ο αριθμός των κορυφογραμμών

2. 
   

   
   Χειριστείτε την εξίσωση για να απομονώσετε τον αριθμό των κορυφών ("s"). Εάν οι αριθμοί των προσώπων ("f") και των άκρων ("a") σας δοθούν, θα μπορείτε, χάρη στον τύπο του Euler, να υπολογίσετε εύκολα τον αριθμό των κορυφών. Περάσατε "f" και "a" στην άλλη πλευρά της εξίσωσης μεταβάλλοντας τα σημάδια τους, και voila!
   • s = 2 - f + a

3. 
   

   
   
   
   Κάνετε την ψηφιακή εφαρμογή και επιλύστε την εξίσωση. Αν σας δίνεται "f" και "a", το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να τα βάλετε στην εξίσωση και να κάνετε τους υπολογισμούς. Θα πάρετε τον αριθμό των κορυφών.
   • Παράδειγμα: έχετε πολυεδρικό με 6 πρόσωπα και 12 άκρες ...
     • s = 2 - f + a
     • s = 2 - 6 + 12
     • s = -4 + 12
     • s = 8

Μέθοδος 2 Βρείτε τις κορυφές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων

1. 
   

   
   Σχεδιάστε τα γραφήματα των διαφορετικών γραμμικών ανισοτήτων. Έτσι, θα μπορείτε να δείτε μερικές ή όλες τις κορυφές (εδώ, είναι σημεία τομής), όλα εξαρτώνται από τις εξισώσεις και το μέγεθος του γραφήματος σας. Εάν δεν βλέπετε κανένα από αυτά, είναι εκτός του γραφήματος, οπότε πρέπει να τα υπολογίσετε.
   • Με τη βοήθεια μιας αριθμομηχανής γραφικών, θα μπορείτε να απεικονίσετε τις κορυφές των διαφόρων καμπυλών (αν υπάρχουν) και να διαβάσετε τις συντεταγμένες τους.

2. 
   

   
   
   
   Μετατρέψτε τις ανισότητες σε εξισώσεις. Για να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων, πρέπει προσωρινά να μετατρέψετε τις ανισότητες σε εξισώσεις, για να υπολογίσετε x και εκεί.
   • Παράδειγμα: Είτε το επόμενο σύστημα εξισώσεων ...
     • y <x
     • y> -x + 4
   • Οι ανισότητες μετατρέπονται σε εξισώσεις:
     • y = x
     • y = -x + 4

3. 
   

   
   Αντικαταστήστε ένα από τα άγνωστα στην άλλη εξίσωση. Παρόλο που υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να προχωρήσουμε, θα δούμε τη λεγόμενη μέθοδο "υποκατάστασης" x και εκεί, το πιο απλό. Στη δεύτερη εξίσωση, θα πάρουμε για εκεί την αξία που έχει στην πρώτη. Αντικαθιστούμε εκεί. Αυτό ισοδυναμεί με την ισότητα των δύο εξισώσεων.
   • Παράδειγμα:
     • y = x
     • y = -x + 4
   • Με υποκατάσταση, y = -x + 4 γίνεται:
     • x = -x + 4

4. 
   

   
   Βρείτε την αξία του άγνωστου. Τώρα έχετε μόνο ένα άγνωστο (x), εύκολο να βρεθεί εδώ με το παιχνίδι των προσθηκών, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαιρέσεις. Είναι μια απλή εξίσωση του πρώτου βαθμού.
   • Παράδειγμα: x = -x + 4
     • x + x = - χ + χ + 4
     • 2x = 4
     • 2x / 2 = 4/2
     • x = 2

5. 
   

   
   Βρείτε το δεύτερο άγνωστο. Πάρτε την τιμή που μόλις βρήκατε και βάλτε την σε μία από τις δύο εξισώσεις για να προσδιορίσετε εκεί.
   • Παράδειγμα: y = x
     • y = 2

6. 
   

   
   Προσδιορίστε τη σύνοδο κορυφής. Η κορυφή έχει τότε για τις συντεταγμένες τις δύο αξίες σας, x και εκεί.
   • Παράδειγμα: (2, 2)

Μέθοδος 3 Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής με χαλαρή συμμετρία

1. 
   

   
   Βάλτε την εξίσωση σε παράγοντες. Γράψτε την εξίσωση του δεύτερου βαθμού με τη μορφή. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να παραγοντοποιηθούν σύμφωνα με την εξίσωση που έχουμε στην αρχή. Τέλος πάντων, στο τέλος, πρέπει να έχετε μια εξίσωση με τη μορφή προϊόντων.
   • Παράδειγμα: (χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση)
     • f (x) = 3x - 6x - 45
     • Βάλτε 3 σε παράγοντα, που δίνει: 3 (x - 2x - 15)
     • Πολλαπλασιάστε τους συντελεστές των x ("a") και x (σταθερή "c"), δηλ. 1 x -15 = -15
     • Βρείτε δύο αριθμούς των οποίων το προϊόν είναι -15 και το άθροισμα είναι ίσο με το συντελεστή (β) του x (εδώ, b = - 2). 3 και - 5 κάνουν τη συμφωνία, αφού 3 x -5 = -15 και 3 + (- 5) = 3 - 5 = - 2
     • Στην εξίσωση, άξονα + kx + hx + c, αντικαταστήστε "k" και "h" με τις τιμές που βρέθηκαν προηγουμένως, η οποία δίνει: 3 (x + 3x - 5x - 15)
     • Refactor. Παίρνουμε λοιπόν: f (x) = 3 (x + 3) (x - 5)

2. 
   

   
   Βρείτε το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα x (άξονας x). Για να βρούμε αυτό το σημείο είναι να λύσουμε την εξίσωση: f (x) = 0.
   • Παράδειγμα: 3 (χ + 3) (χ - 5) = 0
     • x +3 = 0
     • χ - 5 = 0
     • х = -3 και х = 5
     • Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: (-3, 0) και (5, 0)

3. 
   

   
   Βρείτε τη μέση αυτών των σημείων. Το Lax της συμμετρίας της παραβολής θα περάσει από αυτό το σημείο το οποίο βρίσκεται στη μέση των δύο ριζών. Αυτός ο άξονας είναι θεμελιώδης, αφού η κορυφή είναι πάνω από αυτό εξ ορισμού.
   • Παράδειγμα: το μέσο του -3 και το 5 είναι: x = 1

4. 
   

   
   Στην εξίσωση εκκίνησης, αντικαταστήστε x με αυτή την τιμή 1. Θα βρείτε μια αξία εκεί ο οποίος θα είναι ο άρχοντας της συνόδου σας.
   • Παράδειγμα: γ = 3x - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48

5. 
   

   
   Καταχωρίστε τις συντεταγμένες της συνόδου κορυφής σας. Απλά φέρτε τις δύο αξίες μαζί, x και εκεί, να έχει τη θέση της συνόδου κορυφής.
   • Παράδειγμα: (1, -48)

Μέθοδος 4 Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής συμπληρώνοντας το τετράγωνο

1. 
   

   
   Μετατρέψτε την εξίσωση έναρξης σε μια κορυφή. Μια εξίσωση με τη μορφή "κορυφής" είναι του στυλ: y = a (χ - η) + k, στην οποία η κορυφή της παραβολής έχει συντεταγμένες (h, k). Είναι επομένως απολύτως απαραίτητο να μετασχηματιστεί η αρχική εξίσωση για την οποία έχει μια μορφή αυτού του τύπου. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει, όπως το ονομάζουμε, να συμπληρώσετε την πλατεία.
   • Παράδειγμα: y = -x - 8x - 15 (της φόρμας ax + bx + c)

2. 
   

   
   Ξεκινήστε με απομόνωση έχει. Με βάση τους δύο πρώτους όρους, ο συντελεστής του όρου στο δεύτερο βαθμό (το μέλλον έχει). Μην αγγίζετε τη σταθερά γ προς το παρόν!
   • Παράδειγμα: -1 (x + 8x) - 15

3. 
   

   
   Βρείτε έναν τρίτο όρο για παρενθέσεις. Αυτός ο όρος δεν επιλέγεται τυχαία: πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να κάνει αυτό που είναι μέσα σε παρένθεση ένα τέλειο τετράγωνο (ή αξιοσημείωτη ταυτότητα) της φόρμας (ax + b). Ο νέος αυτός όρος που πρέπει να προστεθεί είναι το τετράγωνο του μισού συντελεστή του μεσοπρόθεσμου (β).
   • Παράδειγμα: β = 8, το μισό του είναι: 8/2 = 4. Παίρνουμε το τετράγωνο: 4 x 4 = 16. Λαμβάνουμε έτσι:
     • -1 (χ + 8χ + 16)
     • Για να εξισορροπηθεί η εξίσωση, πρέπει να αφαιρεθεί (ή να προστεθεί) στο εξωτερικό αυτό που έχει προστεθεί (ή αφαιρεθεί) μέσα στις αγκύλες.
     • y = -1 (χ + 8χ + 16) - 15 + 16

4. 
   

   
   Εκτελέστε τους υπολογισμούς για να απλοποιήσετε την εξίσωση. Γράψτε μέσα στις παρενθέσεις ως ένα τέλειο τετράγωνο και συνοψίστε τις σταθερές.
   • Παράδειγμα: γ = -1 (χ + 4) + 1

5. 
   

   
   Βρείτε τις συντεταγμένες κορυφών από την κορυφή. Θυμηθείτε! χρειαζόμασταν μια εξίσωση με τη μορφή κορυφής: y = a (χ - η) + k για να βρείτε απευθείας τις συντεταγμένες (h, k) από την κορυφή. Τότε είναι αρκετό να διαβάσετε και μερικές φορές να κάνετε έναν μικρό υπολογισμό για να βρείτε αυτές τις δύο αξίες (προσοχή στα σημάδια!)
   • k = 1
   • h = -4 (-h = 4, έτσι ώστε η = 4)
   • Συμπερασματικά, η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο σημείο των συντεταγμένων (-4, 1)

Μέθοδος 5 Βρείτε την κορυφή μιας παραβολής χρησιμοποιώντας μια απλή φόρμουλα

1. 
   

   
   Βρείτε απευθείας labscisse x από την κορυφή. Με εξίσωση παραβολής y = άξονα + bx + c, labscisse x από την κορυφή της παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: x = -b / 2a. Στη συνέχεια αντικαταστήστε απλά τις "a" και "b" από τις αντίστοιχες τιμές τους.
   • Παράδειγμα: y = -x - 8x - 15
   • x = -b / 2a = - (- 8) / (2 χ (-1)) = 8 / (-2) = -4
   • x = -4

2. 
   

   
   Στη συνέχεια, βάλτε αυτή την τιμή του "x" πίσω στην αρχική εξίσωση για να βρείτε τη σειρά ("y") της κορυφής.
   • Παράδειγμα: y = -x - 8x - 15 = - (- 4) - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32-15 =
     • y = 1

3. 
   

   
   Στη συνέχεια, εισάγετε το αποτέλεσμά σας, το οποίο είναι οι συντεταγμένες της συνόδου κορυφής. Αυτό είναι το σημείο συντεταγμένων ("x", "y").
   • Παράδειγμα: (-4, 1)