Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής

Περιεχόμενο

• στάδια
• Μέθοδος 1 Κατανοήστε τα σημεία καμπής
• Μέθοδος 2 Βρείτε τα παράγωγα μιας συνάρτησης
• Μέθοδος 3 Βρείτε ένα σημείο καμπής

Στον διαφορικό υπολογισμό, ένα σημείο καμπής είναι ένα σημείο καμπύλης όπου το σημάδι της κοιλότητας μεταβάλλεται (από περισσότερο à μείον ή μείον à περισσότερο). Χρησιμοποιείται σε διάφορους κλάδους, συμπεριλαμβανομένων των μηχανικών, των οικονομικών και των στατιστικών, για τον προσδιορισμό των θεμελιωδών αλλαγών στα δεδομένα. Για πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο εύρεσης των σημείων καμπής, μεταβείτε στο βήμα 1 παρακάτω.

στάδια

Μέθοδος 1 Κατανοήστε τα σημεία καμπής

1. 
   

   
   Κατανοήστε τις κοίλες λειτουργίες. Για να κατανοήσετε τα σημεία καμπής, πρέπει να ξέρετε πώς να διακρίνετε τις κοίλες συναρτήσεις από τις κυρτές λειτουργίες. Μια κοίλη συνάρτηση είναι μια λειτουργία στην οποία καμία γραμμή που συνδέει δύο σημεία στο γράφημά της δεν περνά πάνω από το γράφημα.

2. 
   

   
   Κατανοήστε κυρτές λειτουργίες Μια κυρτή συνάρτηση είναι ουσιαστικά το αντίθετο μιας κοίλης λειτουργίας: είναι μια συνάρτηση στην οποία καμία γραμμή που συνδέει δύο σημεία στο γράφημά της δεν περνά κάτω από το γράφημα.

3. 
   

   
   Κατανοήστε τις ρίζες μιας λειτουργίας. Η ρίζα μιας συνάρτησης είναι το σημείο όπου η λειτουργία ακυρώνει ή είναι ίσο με 0.
   • Εάν πρέπει να σχεδιάσετε μια συνάρτηση, οι ρίζες θα είναι τα σημεία όπου η λειτουργία αγγίζει τον άξονα x.

Μέθοδος 2 Βρείτε τα παράγωγα μιας συνάρτησης

1. 
   

   
   
   
   Βρείτε το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης. Προτού εντοπίσετε ένα σημείο καμπής, πρέπει να βρείτε τα παράγωγα της συνάρτησης. Παράγωγοι τύποι για βασικές λειτουργίες μπορούν να βρεθούν σε οποιονδήποτε υπολογισμό e. Πρέπει να τα μάθετε πριν προχωρήσετε σε πιο σύνθετες ασκήσεις. Τα πρώτα παράγωγα ονομάζονται f (x). Για τις πολυωνυμικές εκφράσεις με τη μορφή axp + bx (p-1) + cx + d, το πρώτο παράγωγο είναι apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.
   • Για να δείξουμε, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το σημείο εμπλοκής της συνάρτησης f (x) = x3 + 2x-1. Υπολογίστε το πρώτο παράγωγο αυτής της συνάρτησης ως εξής:
     
     (x3) + (2x) - (1) = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. Βρείτε το δεύτερο παράγωγο. Το δεύτερο παράγωγο αντιπροσωπεύει το πρώτο παράγωγο του πρώτου παραγώγου της συνάρτησης, που δηλώνεται f (Χ).

   
   

   
   
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, υπολογίστε το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης ως εξής:
     
     στ (x) = (3x2 + 2) = 2 χ 3 χ χ + 0 = 6χ

3. 
   

   
   
   
   Ακυρώστε το δεύτερο παράγωγο. Βάλτε το δεύτερο παράγωγο ίσο με το μηδέν και λύστε την εξίσωση. Η απάντησή σας θα ήταν πιθανώς ένα σημείο καμπής.
   • Στο παρακάτω παράδειγμα, ο υπολογισμός θα είναι ο ακόλουθος:
     
     στ (χ) = 0
     6x = 0
     x = 0

4. 
   

   
   Βρείτε το τρίτο παράγωγο της συνάρτησης. Για να διαπιστώσετε αν η απάντησή σας είναι πραγματικά ένα σημείο καμπής, βρείτε το τρίτο παράγωγο που είναι το πρώτο παράγωγο του δεύτερου παραγώγου της λειτουργίας και το οποίο υποδηλώνεται με (Χ).
   • Στο παραπάνω παράδειγμα:
     
     στ (χ) = (6χ) = 6

Μέθοδος 3 Βρείτε ένα σημείο καμπής

1. 
   

   
   Αξιολογήστε το τρίτο παράγωγο. Ο τυπικός κανόνας για την αξιολόγηση ενός πιθανού σημείου κλίσης είναι: εάν το τρίτο παράγωγο δεν είναι ίσο με 0, το πιθανό σημείο καμπής είναι πράγματι ένα σημείο καμπής. Αξιολογήστε το τρίτο σας παράγωγο, αν δεν είναι ίσο με 0, τότε το σημείο είναι στην πραγματικότητα ένα σημείο καμπής.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, το τρίτο παράγωγο είναι 6 και όχι 0. Αυτό είναι στην πραγματικότητα ένα σημείο καμπής.

2. 
   

   
   Βρείτε το σημείο της καμπής. Η συντεταγμένη του σημείου κλίσης συμβολίζεται (x, f (x)), με την τιμή x του μεταβλητού σημείου στο σημείο της κλίσης και f (x) την τιμή της συνάρτησης στο σημείο της καμπής.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, θυμηθείτε ότι όταν υπολογίσατε το δεύτερο παράγωγο, το x έδωσε 0. Έτσι πρέπει να υπολογίσετε το f (0) για να καθορίσετε τις συντεταγμένες σας. Ο υπολογισμός σας θα φαινόταν έτσι:
     
     f (0) = 03 + 2 χ 0-1 = -1.

3. 
   

   
   Σημειώστε τις συντεταγμένες. Οι συντεταγμένες του σημείου καμπής είναι: η τιμή του x και η απάντηση που αναφέρθηκε παραπάνω.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, οι συντεταγμένες του σημείου καμπής είναι (0, -1).